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论文导读：：本文通过分析一阶和二阶金字塔点阵夹芯结构的受力特点，研究了它们的等效弹性参数，得到了一阶和二阶芯体在受到3方向简单压缩及1、2方向单向剪切载荷时的等效弹性参数的解析解。此外，还分别建立了三维一阶和二阶点阵夹芯结构的有限元模型，并将有限元解与相同条件下的理论解进行了比较，验证了本文理论计算的正确性。
论文关键词：点阵材料，宏观等效，等效弹性参数，有限元分析
1. 引言
有着多级结构的多孔材料有可能有着更高的强重比。Bhat制作了有着二阶蜂窝状结构的三明治板，试验表明：二阶三明治板有着6倍于一阶的压缩强度[1]。Lakes进一步证明有着二阶蜂窝状结构的三明治板有着3-4倍于一阶的压缩强度，并指出刚重比会随着多级的增加而降低[2]。Kooistra试验发现：三维多级结构仅仅在相对密度低于0.003时才会提供高于一阶的强度[3]。
多级结构有望在延迟弹性屈曲和塑性屈曲上发挥作用。多级结构由于在制作上的困难和造价上的高昂，因此一直受到应用的限制。然而多级结构的力学性能的研究甚少，其力学性能究竟如何，其研究仍然是势在必行的。
本文分析并推导了一阶金字塔和二阶金字塔这两种三维点阵结构的等效弹性参数的解析表达式。接着通过有限元建立一阶和二阶三维模型，将有限元解和相同条件下的理论解进行比较，逐渐验证本文理论分析的正确性。
2. 一阶和二阶金字塔点阵夹芯结构介绍
本文主要研究图1（a）（b）所示的一阶金字塔和二阶金字塔点阵夹芯结构在受到3方向简单压缩及1、2方向单向剪切载荷时的等效弹塑性参数和破坏模式。不管一阶还是二阶，大杆件与1、2、3（或是）三个方向的夹角分别为，二阶小杆与沿着大杆杆长方向、垂直于大杆杆长方向（垂直于纸面）和垂直于大杆表面三个方向的夹角分别为。大杆的厚度为，垂直纸面进去的宽度为，长度为。二阶小杆沿着大杆杆长方向的厚度为，垂直于大杆杆长方向（垂直于纸面）的宽度为，小杆长度为。这两种结构的相对密度表示为
一阶 点阵材料（1）
二阶 点阵材料（2）
K1
V1
H1
3
3
2
2
1
1
点阵材料
图1 本文研究的金字塔点阵夹芯结构（a） 一阶金字塔夹芯结构（b）二阶金字塔夹芯结构
3. 等效弹性参数的解析解
在研究图1所示两种点阵夹芯结构的力学性能时宏观等效，采用基于离散单元化方法给出材料的宏观力学性能。我们将大杆件两端考虑为固定端，在小变形前提下，当所取计算胞体承受3方向简单压缩或1、2方向剪切载荷时，考虑胞体杆件的轴向力及轴向变形对整个单胞的贡献，以及胞体杆件剪力及弯曲变形的贡献。首先从计算结构中取出典型计算胞元建立力学计算模型，通过在各个所取胞元上分别施加3方向的压力及1、2方向的剪力，根据平衡条件将力分解到各个杆上，计算在两端为固定端时胞元产生的相应的等效拉压变形或剪切变形，根据单元结构的变形特征换算为它们各自的宏观等效应力应变，再通过定义计算出它们的宏观等效弹性模量[4]。
取图 2所示的其中一根杆件单元作为基本计算单元。在计算时施加3方向的压力或分别施加1、2方向的剪力，除保留两端受力方向的自由度外，约束其余自由度。
图2基本计算单元 （a） 一阶金字塔芯体（b） 二阶金字塔芯体
3.1 一阶金字塔芯体的等效弹性参数
3.1.1 3方向压缩时等效弹性参数计算
当结构受3方向的压缩载荷时，单杆的受力如图2a所示。杆件端点沿水平方向的约束反力为，杆两端弯矩分别为。，。此时，除了杆件端点沿外载荷方向的位移外其余位移均为根据杆件的平衡条件可得：
由杆上端沿方向上的位移为零和杆上端转角为零有：
则杆件中的轴力为
用单位载荷法可以计算杆长为l的杆件位移对单胞沿3方向位移的贡献为：
由单胞宏观应力和宏观应变在弹性范围内的关系
并令，可得一阶金字塔点阵芯体结构沿3方向的等效压缩模量为：
3.1.2 1方向剪切时等效弹性参数计算
当结构受1方向的压缩载荷时，单杆的受力如图3所示。杆件端点沿水平方向的约束反力为， 杆两端弯矩分别为。，。此时，除了杆件端点沿外载
荷方向的位移外其余位移均为根据杆件的平衡条件可得：
图3 1方向等效剪切时结构杆件的边界条件及受力模型
论文导读：：本文通过分析一阶和二阶金字塔点阵夹芯结构的受力特点，研究了它们的等效弹性参数，得到了一阶和二阶芯体在受到3方向简单压缩及1、2方向单向剪切载荷时的等效弹性参数的解析解。此外，还分别建立了三维一阶和二阶点阵夹芯结构的有限元模型，并将有限元解与相同条件下的理论解进行了比较，验证了本文理论计算的正确性。
论文关键词：点阵材料，宏观等效，等效弹性参数，有限元分析
1. 引言
有着多级结构的多孔材料有可能有着更高的强重比。Bhat制作了有着二阶蜂窝状结构的三明治板，试验表明：二阶三明治板有着6倍于一阶的压缩强度[1]。Lakes进一步证明有着二阶蜂窝状结构的三明治板有着3-4倍于一阶的压缩强度，并指出刚重比会随着多级的增加而降低[2]。Kooistra试验发现：三维多级结构仅仅在相对密度低于0.003时才会提供高于一阶的强度[3]。
多级结构有望在延迟弹性屈曲和塑性屈曲上发挥作用。多级结构由于在制作上的困难和造价上的高昂，因此一直受到应用的限制。然而多级结构的力学性能的研究甚少，其力学性能究竟如何，其研究仍然是势在必行的。
本文分析并推导了一阶金字塔和二阶金字塔这两种三维点阵结构的等效弹性参数的解析表达式。接着通过有限元建立一阶和二阶三维模型，将有限元解和相同条件下的理论解进行比较，逐渐验证本文理论分析的正确性。
2. 一阶和二阶金字塔点阵夹芯结构介绍
本文主要研究图1（a）（b）所示的一阶金字塔和二阶金字塔点阵夹芯结构在受到3方向简单压缩及1、2方向单向剪切载荷时的等效弹塑性参数和破坏模式。不管一阶还是二阶，大杆件与1、2、3（或是）三个方向的夹角分别为，二阶小杆与沿着大杆杆长方向、垂直于大杆杆长方向（垂直于纸面）和垂直于大杆表面三个方向的夹角分别为。大杆的厚度为，垂直纸面进去的宽度为，长度为。二阶小杆沿着大杆杆长方向的厚度为，垂直于大杆杆长方向（垂直于纸面）的宽度为，小杆长度为。这两种结构的相对密度表示为
一阶 点阵材料（1）
二阶 点阵材料（2）
K1
V1
H1
3
3
2
2
1
1
点阵材料
图1 本文研究的金字塔点阵夹芯结构（a） 一阶金字塔夹芯结构（b）二阶金字塔夹芯结构
3. 等效弹性参数的解析解
在研究图1所示两种点阵夹芯结构的力学性能时宏观等效，采用基于离散单元化方法给出材料的宏观力学性能。我们将大杆件两端考虑为固定端，在小变形前提下，当所取计算胞体承受3方向简单压缩或1、2方向剪切载荷时，考虑胞体杆件的轴向力及轴向变形对整个单胞的贡献，以及胞体杆件剪力及弯曲变形的贡献。首先从计算结构中取出典型计算胞元建立力学计算模型，通过在各个所取胞元上分别施加3方向的压力及1、2方向的剪力，根据平衡条件将力分解到各个杆上，计算在两端为固定端时胞元产生的相应的等效拉压变形或剪切变形，根据单元结构的变形特征换算为它们各自的宏观等效应力应变，再通过定义计算出它们的宏观等效弹性模量[4]。
取图 2所示的其中一根杆件单元作为基本计算单元。在计算时施加3方向的压力或分别施加1、2方向的剪力，除保留两端受力方向的自由度外，约束其余自由度。
图2基本计算单元 （a） 一阶金字塔芯体（b） 二阶金字塔芯体
3.1 一阶金字塔芯体的等效弹性参数
3.1.1 3方向压缩时等效弹性参数计算
当结构受3方向的压缩载荷时，单杆的受力如图2a所示。杆件端点沿水平方向的约束反力为，杆两端弯矩分别为。，。此时，除了杆件端点沿外载荷方向的位移外其余位移均为根据杆件的平衡条件可得：
由杆上端沿方向上的位移为零和杆上端转角为零有：
则杆件中的轴力为
用单位载荷法可以计算杆长为l的杆件位移对单胞沿3方向位移的贡献为：
由单胞宏观应力和宏观应变在弹性范围内的关系
并令，可得一阶金字塔点阵芯体结构沿3方向的等效压缩模量为：
3.1.2 1方向剪切时等效弹性参数计算
当结构受1方向的压缩载荷时，单杆的受力如图3所示。杆件端点沿水平方向的约束反力为， 杆两端弯矩分别为。，。此时，除了杆件端点沿外载
荷方向的位移外其余位移均为根据杆件的平衡条件可得：
图3 1方向等效剪切时结构杆件的边界条件及受力模型
令，可得二阶金字塔点阵芯体结构沿1向的等效剪切模量为：
3.2.3 2方向压缩等效弹性参数计算
当结构受2方向的压缩载荷时，单杆的受力如图7所示，其横截面如图8所示。杆件端点沿水平方向的约束反力为，两端弯矩分别为。，分别为大杆横截面的等效抗弯刚度和等效抗轴向拉压刚度，为方向的厚度，为垂直纸面方向的杆的宽度。大杆受力相当于夹芯板的受力，则大杆的等效抗弯刚度，其中下标和分别指面板和芯材。此时，除了杆件端点沿外载荷方向的位移外其余位移均为根据杆件的平衡条件可得：
图7 2方向等效压缩时结构中一阶大杆件的边界条件及受力
图82方向等效压缩时结构中一阶大杆件的横截面
按照一阶金字塔的推导方法，我们得到二阶金字塔中大杆两端的轴力和弯矩为
令，可得二阶金字塔点阵芯体结构沿2向的等效压缩模量为：
4. 有限元模拟
在有限元中，我们用ABAQUS软件建立如图1中的一阶和二阶金字塔芯体单胞结构模型。大杆件与1、2、3（或是）三个方向的夹角分别为宏观等效，二阶小杆与三个方向的夹角分别为。通过改变大杆和小杆的尺寸，我们得到六组不同相对密度的模型。大杆和小杆的具体尺寸见表1。假定杆件材料为理想弹塑性材料，其弹性模量，泊松比，屈服强度。
表1 六组模型的具体尺寸
相对密度
结构
大杆
mm
大杆单胞
mm
二阶小杆mm
小杆单胞mm
0.0436
二阶
一阶
/
/
0.0254
二阶
一阶
/
/
0.01082
二阶
一阶
/
/
0.0062
二阶
一阶
/
/
0.00378
二阶
一阶
/
/
0.000532
二阶
一阶
/
/
在模拟中，一阶和二阶芯体上下都是连接在两个刚体上，主要研究一阶芯体和二阶芯体的弹性参数。芯体杆件采用三维应力单元，载荷为位移加载在上面刚体的参考点上，下面刚体固定。这六组模型3方向等效压缩模量、1方向等效剪切模量及2方向等效剪切模量与结构相对密度之间的关系如图9所示。从图9 （a）、（b）、（c）三图可以看出，对于一阶和二阶金字塔芯体结构而言，其弹性模量和剪切模量的理论计算值与有限元模拟结果完全吻合，这也证明了本文理论计算的正确性。
图 9 一阶和二阶金字塔结构的宏观等效弹性参数与相对密度曲线：（a）等效压缩模量与相对密度曲
线，（b） 1方向等效剪切模量与相对密度曲线，（c）2方向等效剪切模量与相对密度曲线。
5. 结论
本文用理论推导和有限元研究了图1所示一阶金字塔芯体结构和二阶金字塔芯体结构的等效弹性参数。采用基于离散单元化方法给出材料的力学性能，理论计算了两种芯体结构的等效弹性常数。并利用ABAQUS分析软件对计算结果进行了验证。结合理论计算及有限元模拟结果可得出以下结论：本文的理论推导和有限元模拟结果相近。对于具有相同密度的一阶金字塔芯体结构和二阶金字塔芯体结构，其刚度近乎相同。
参考文献
[1]T. Bhat, T. Wang, L. Gibson, Micro-Sandwich Honeycomb, SAMPE J, 25 （1989）。
[2]R. Lakes, Materials with structural hierarchy, Nature, 361 （1993） 511-515.
[3]G. Kooistra, V. Deshpande, H. Wadley, Hierarchical corrugated core sandwich panelconcepts, Journal of Applied Mechanics, 74 （2007） 259.
[4]陈爱萍，陈常青，卢天健。几种新型点阵材料等效参数和破坏模式的理论研究。中国力学学会学术大会论文摘要集（2009）。。
[5]H. Allen, Analysis and design of structural sandwich panels. 1969, in,Pergamon, New York. |
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