论文导读：：建立非均匀材料宏观力学性能与微结构参数之间的定量关系一直是人们所关心的问题，利用材料微结构参数和组分性能预报复合材料宏观力学性能，已经取得了很大的进展，然而已知复合材料宏观性能，如何开展组分性能的随机识别，目前的研究工作还不多见。本文考虑了复合材料的随机性，在已知复合材料宏观有效性能的随机性条件下，采用克里金随机分析方法，对复合材料组分性能的随机性进行识别，通过单向纤维复合材料的宏观有效性能的随机性，计算得到了纤维弹性模量的均值与方差，证明了该方法的有效性。

　　论文关键词：均匀化方法，复合材料，力学性能，随机识别

　　1、绪论

　　微观力学的研究不仅仅是通过组元材料性能理论预报宏观材料性能，还有一个很重要的目的是根据微结构的不均匀性确定物理量和力学量在微观层次上局部场的涨落和分布情况的变化，目前预报复合材料有效性能的方法和模型很多，如根据体积份数和夹杂的几何尺寸及组分性能来推导有效性能的自洽法[1-3]、广义自洽法[4、5]和M–T法[6–8]等，上述方法虽然建立起了复合材料的微观量与宏观量的关系，但不能给出局部场的细节。70年代出现了被称为Asymptotic HomogenizationTheory的方法物理论文，即均匀化理论[9]，用于分析两个或更多个长度尺度的物理系统，是一套严格的数学理论。该方法用均质的宏观结构和非均质的具有周期性分布的微观结构描述原复合材料结构：将力学量表示成关于宏观坐标和微观坐标的函数，并用微观和宏观两种尺度之比为小参数展开，用摄动技术将原问题化为微观均匀化问题和宏观均匀化问题，对这些问题的求解给出了具有微观非均质结构的复合材料的有效性能，并给出了非均质扰动的复合材料的微观应力场。然而，复合材料由于组份材料性能的随机性或微结构的不确定性会引起整个复合材料宏观上有效性能的不确定性cssci期刊目录。Marcin Kaminski[10]和Sakata等[11-12]利用基于摄动的均匀化方法考虑了材料微结构不确定性，对纤维增强复合材料进行三维的随机性分析，得到了有效性能的统计特性。侯善芹、刘书田[13]对随机颗粒分布的复合材料，应用均匀化方法预测了材料的宏观等效弹性性能，研究了其统计特性，探讨颗粒大小、分布和几何形状的变化对材料等效弹性性能的影响。

　　实际上物理论文，在复合材料生产和应用中，往往只是通过一些实验得到了复合材料宏观有效性能的统计特征，而不清楚这种宏观随机性到底如何受组分材料性能随机性和微结构不确定的影响，因此由已知的宏观性能随机性的统计特征反推出未知的组份材料性能的随机性或微结构的不确定性，对于材料设计和工艺改进具有重要的理论意义和实用价值。本文就是基于上述思想，考虑了复合材料的随机性，在已知复合材料宏观有效性能的随机性条件下，结合地质统计学的克里金方法[14]，发展了一种基于克里金的随机分析方法，运用均匀方化方法对随机复合材料的有效性能进行了预报[15]，通过反向迭代的思想对复合材料组分材料性能随机性进行了识别。

　　2、克里金随机分析方法

　　2.1密度函数的克里金近似

　　如果随机变量、关系可以用一个未知函数来表示，即

　　（1）

　　假设随机变量、的概率密度分别为、，则存在关系

　　（2）

　　在复合材料宏观有效性能预报的均匀化方法中物理论文，均匀化系数或复合材料有效性能（相当于随机变量）应是组分材料性能和单胞几何形状（相当于随机变量）的函数，在组份材料性能和单胞几何形状为已知的随机变量时，如果可以知道联系着随机变量、的函数或，就可以得到整个复合材料性能随机分布的情况。然而这种函数关系很难得到，并且不能直接解析的表达出来。在这种情况下，我们可以采用有限差分的形式来近似。

　　（3）

　　随机变量的均值和方差可以表示为

　　复合材料（4）

　　应用普通的克里金方法，随机变量在随机变量位置为处，普通克里金估计值可以写成

　　（5）

　　其中是普通克里金方法中的权重，是在位置处的观察值或计算值。由式（2）可以得到随机变量的密度函数的近似

　　复合材料（6）

　　上式中可以通过代入式（5）变化为

　　（7）

　　其中cssci期刊目录。

　　如果变异函数为已知，假设是高斯型变异函数，则可以求得的解析形式：

　　复合材料（8）

　　其中。根据式（7）就可以得到随机变量密度函数近似的显式表达式，它是关于变量的显式表达。

　　2.2基于克里金的积分近似

　　为了计算式（4）的积分，一些数值积分方法可以采用物理论文，比如说辛普森积分方法等，本文中采用基于克里金方法的积分近似。假设被积分函数用离散采样点来近似表达

　　（9）

　　而权重的积分可以表示为

　　（10）

　　如果变异函数为高斯型变异函数并且不考虑块金效应（），则变异函数的积分为

　　（11）

　　其中是误差函数

　　（12）

　　从式（9）-（11）就可以得到用已知点的函数值来估计未知函数的积分近似。在随机变量的均值和方差计算中代入其近似的密度函数并用基于克里金方法的积分近似表达

　　（13）

　　其中是一个选取的常数，满足

　　（14）

　　是一个小的参数，它取决于计算中精度的要求，文中取。

　　3、数值模拟

　　3.1随机性的反问题中的基本假设

　　两点假设：

　　1）细观参数随机量唯一性假设：

　　假设复合材料性能宏观随机性只由一种细观随机性引起，也就是只有一个细观随机变量起作用，如组份材料弹性模量或泊松比或微结构的随机性，而且这个随机变量是可以确定的。

　　2）随机量正态分布假设：

　　假设描述复合材料宏观有效性能随机性的随机变量和组分性能的细观随机变量都是正态分布的，这样就将问题简化为已知描述宏观有效性能随机性正态分布的均值与方差，反推出引起宏观随机性的细观随机变量正态分布的均值与方差。

　　3.2迭代程序的步骤

　　在反问题中由已知描述宏观有效性能随机性的正态分布的均值（）与均方差（），采用迭代的方法，逼近真实的细观随机变量正态分布的均值（）与均方差（）物理论文，以下介绍迭代程序的主要流程：

　　1）时第一步迭代，细观随机变量正态分布的均值与方差取为。通过克里金的随机分析方法计算复合材料的宏观有效性能的均值和均方差，与和比较，决定下一步迭代的取值cssci期刊目录。如果，第二步迭代的均值取为，相反时，取为；第二步迭代的均方差也类似选取。

　　2）时，由细观随机变量的均值与均方差采用克里金的随机分析方法计算复合材料的宏观有效性能的均值和均方差。如果，令；并且用代替；如果，令；如果，令；第步迭代的均方差也类似选取。

　　3）对于给定的正数和用于控制迭代结束的精度。如果当迭代到步时，且时物理论文，迭代收敛并结束，此时和就认为是真实的细观随机变量正态分布的均值与均方差的近似。如果对于给定整数，当迭代次数大于时，迭代仍不收敛，迭代也结束，需要重新选取控制精度来计算。

　　3.3模拟结果分析

　　考虑单向纤维增强复合材料，在体积份数时，通过实验测得复合材料的纵向弹性模量的均值与均方差，计算中用到的其它数据列于表1，通过这些数据反推出假设服从正态分布的纤维弹量模量的均值与均方差。单向纤维增强复合材料中纤维分布取为四边形分布[15]。

　　表1：材料性能与控制精度参数

　　纤维

　　基体

　　弹性模量（GPa）

　　未知正态分布：

　　4.5

　　泊松比

　　0.2156

　　0.39

　　均值GPa ，均方差GPa

　　GPa， GPa，

　　: Material propertyand parameters of controlled resolution

　　table1图1、图2分别给出了随着迭代次数变化时物理论文，计算的单向纤维增强复合材料的纵向弹性模量的均值与方差cssci期刊目录。这两个图中的红线分别表示实验测得的均值与方差，而数据点表示迭代中由选取的纤维弹性模量均值与方差而计算得到的整个复合材料纵向弹性模量的均值与方差。从这两个图可以看到迭代过程收敛较快，当时计算结果已经满足表1中的精度要求。复合材料组分性能随机性识别的克里金随机分析方法

　　时间：2013-02-06  作者：黄富华，梁军，赵兵，卢琦

　　图1：随着迭代次数变化计算的纵向弹性模量的均值

　　Fig1:Mean of withrespect to iterations

　　图2：随着迭代次数变化的计算的纵向弹性模量的均方差

　　Fig2:Standard deviation of withrespect to iterations

　　图3、图4分别给出了随着迭代次数变化时，迭代时选取的纤维弹性模量的均值与方差，从这两个图可以看到当时，均值与方差已经满足精度要求，此时的均值GPa，均方差GPa。

　　图3：随着迭代次数变化的纤维弹性模量的均值

　　Fig3: Mean withrespect to iterations

　　图4：随着迭代次数变化的纤维弹性模量的均方差

　　Fig4: Standard deviation with respect to iterations

　　4、结论

　　本文将地质统计学中克里金方法与均匀化方法相结合，考虑复合材料性能随机性，提出了进行复合材料组分材料性能随机性识别的克里金随机分析方法，并用这种克里金随机分析方法对单向纤维增强复合材料随机性进行了分析。在随机性识别反问题中设计了一个迭代程序，通过数值模拟，由单向纤维宏观性能的统计特征反演出纤维的统计特征。

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